↑ Επιστροφή σε Βιογραφικό

Ερευνητικό έργο

Στην παράγραφο 2 δίνουμε τον ορισμό της "τοπολογικής πληρότητας" και διαπιστώνουμε ότι κάθε συγγενής χώρος είναι τοπολογικά πλήρης. Στην παράγραφο 3 γενικεύονται μερικά από τα βασικά συμπεράσματα της θεωρίας των μονόμορφων χώρων στα πλαίσια των συγγενών χώρων. Τέλος, στην παράγραφο 4 μελετούμε το πρόβλημα της "συμπαγοποίησης" ενός συγγενούς χώρου, χωρίς να απαιτούμε η αντίστοιχη πλήρωσή του να ικανοποιεί κανένα αξίωμα διαχωρισημότητας. Έτσι, διαπιστώνουμε ότι κάθε χώρος δέχεται μια συμπαγοποίηση.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3                                                                                 C – ΜΕΤΡΙΚΕΣ

Εισαγωγή. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγεται η έννοια της "C- μετρικής" (Πρβλ. Ορισμό 3.1), η οποία αποτελεί ουσιώδη γενίκευση όχι μόνο της γνωστής μετρικής αλλά και της ψευδο-μετρικής (Πρβλ. P. Fletcher - W.F. Lindgren [4]).Έτσι, επεκτείνονται πολλά συμπεράσματα της κλασικής θεωρίας των μετρικών χώρων.

Στην παράγραφο 1 δίνονται βασικές ιδιότητες μιας C-μετρικής και διαπιστώνεται ότι σε κάθε C-μετρική d αντιστοιχεί ένας τελεστής θήκης που ορίζει την ίδια με την d προτοπολογία (Πρβλ. Θεώρημα 1.1). Επίσης, εξετάζεται κάτω από ποιές συνθήκες μία C-μετρική ορίζει ειδικότερα τοπολογία. Στην παράγραφο 2 αντιμετωπίζεται το πρόβλημα της "C-μετρικοποίησης" ενός χώρου και διαπιστώνεται ότι κάθε χώρος, που ικανοποιεί το πρώτο αξίωμα του αριθμησίμου δέχεται μια συμβιβαστή C-μετρική (Πρβλ. Θεώρημα 2.1). Επίσης, εξετάζεται η σχέση μεταξύ C-μετρικών και συγγενών δομών και αποδεικνύεται ότι κάθε συγγενής δομή Q ορίζεται από μία C-μετρική αν, και μόνο αν, η Q έχει μια αριθμήσιμη βάση. Στην παράγραφο 3 δείχνεται ότι κάθε συγγενής δομή είναι το προβολικό όριο C-μετρικών. Επιπλέον, στην παράγραφο 4 εξετάζουμε κάτω από ποιές ικανές και αναγκαίες συνθήκες, μια συγγενής δομή επί ενός G-συνόλου (Πρβλ. εισαγωγικά σχόλια της παραγράφου 4) είναι G-αναλλοίωτη. Έτσι, τα δύο κυριότερα συμπεράσματα αυτής της παραγράφου είναι αντίστοιχα εκείνων του Η. ΝΑΚΑΝΟ [1].

Τέλος, στην παράγραφο 5 επεκτείνονται τα συμπεράσματα της προηγούμενης παραγράφου, αντικαθιστώντας την αναλλοίωτη C-μετρική με την αναλλοίωτη συγγενή δομή (Πρβλ. Ορισμό 5.1).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4                                 ΓΕΝIΚΕΥΜΕΝΟI ΜΟΝΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ

Εισαγωγή. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με συγγενείς δομές (Πρβλ. Κεφ.1, Ορισμό 2.1), οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη (Σ) ή (Σα) (Πρβλ. Κεφ.1, Θεώρημα 2.7) και λέγονται "γενικευμένες μονόμορφες δομές". Οι δομές αυτές παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, όχι μόνο γιατί ορίζουν συνήθη τοπολογία, αλλά και διότι μία τέτοια δομή επί μιάς ομάδας, ιδιαιτέρως όταν η δομή αυτή είναι αναλλοίωτη, κάνει την ομάδα "γενικευμένα τοπολογική". Η τελευταία ομάδα απετέλεσε και το κίνητρο ορισμού των δομών αυτών. Η γενικευμένη μονόμορφη δομή είναι έννοια γενικότερη και αυτής ακόμη της ψευδο-μονόμορφης. Στην παράγραφο 4 παρουσιάζουμε ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα, το οποίο αναφέρεται στην "γενικευμένη μονομορφοποίηση" ενός τοπολογικού χώρου (Πρβλ. Ορισμό 4.1). Επίσης, στην ίδια παράγραφο κατασκευάζουμε διάφορες γενικευμένες μονόμορφες δομές, συμβιβαστές με την τοπολογία ενός χώρου και μελετούμε μέσω των δομών αυτών την αντίστοιχη τοπολογία. Δίνουμε ακόμη χαρακτηρισμούς των R0 και κανονικών χώρων με τη βοήθεια των περιφραγμάτων (Πρβλ. Κεφ.1, Ορισμό 1.2).