↑ Επιστροφή σε Βιογραφικό

Ερευνητικό έργο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5                                                               ΠΛΗΡΩΣΗ

Εισαγωγή. Ο συνήθης τρόπος πλήρωσης με φίλτρα Cauchy ενός μονόμορφου χώρου, εφαρμοζόμενος στους γενικευμένους μονόμορφους χώρους δεν μας δίνει γενικά ένα γενικευμένο μονόμορφο χώρο. Επίσης, στη θεωρία των μονόμορφων χώρων απαιτούμε η πλήρωση να είναι T1 χώρος και τούτο γιατί ο περιορισμός αυτός απλοποιεί πολλές αποδείξεις σπουδαίων θεωρημάτων. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε δύο διάφορες πληρώσεις, στηριζόμενοι στην εξασθένηση της έννοιας του φίλτρου Cauchy. Στην πρώτη παράγραφο πραγματοποιούμε μια πλήρωση ενός γενικευμένου μονόμορφου χώρου με ένα γενικότερο ορισμό φίλτρου Cauchy (Πρβλ. Ορισμό 1.1). Στη δεύτερη παράγραφο επιτυγχάνουμε, κάτω από ορισμένες συνθήκες, την πλήρωση ενός γενικευμένου μονόμορφου χώρου με την έννοια των J.L. Sieber -W.J. Pervin [1]. Στην παράγραφο 3 διαπιστώνουμε ότι κάθε τοπολογικός χώρος είναι "τοπολογικά πλήρης", δηλαδή δέχεται μία συμβιβαστή γενικευμένη μονομορφία ως προς την οποία είναι πλήρης. Τέλος, στην παράγραφο 4 παρουσιάζουμε μία πλήρωση ενός μεταβατικού ψευδό-μονόμορφου χώρου (Πρβλ. Κεφ.4, Ορισμό 4.1).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6                                                      ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ

Εισαγωγή. Στο κεφάλαιο αυτό θα ορίσουμε μια ειδικότε­ρη περίπτωση C-μετρικής (Πρβλ. Κεφ.3, Ορισμό 1.1), που λέγεται "γενικευμένη μετρική". Παράλληλα, στα πλαίσια των γενικευμένων μετρικών χώρων, επεκτείνονται βασικά συμπεράσματα της κλασικής θεωρίας των μετρικών χώρων, που είναι αντίστοιχα εκείνων των C-μετρικών χώρων του Κεφαλαίου 3.

Μία C-μετρική ορίζει επί ενός συνόλου μια προτοπολογία (Πρβλ. Κεφ.3, Παρατήρηση 1.1), ενώ μία γενικευμένη μετρική, καίτοι δεν ικανοποιεί την τριγωνική ιδιότητα, ορίζει τη συνήθη τοπολογία.

Στην πρώτη παράγραφο δίνουμε τους βασικούς ορισμούς και τις άμεσες συνέπειες τους. Στη δεύτερη παράγραφο διαπιστώνεται ότι κάθε γενικευμένη μονομορφία με αριθμήσιμη βάση, ορίζεται από μία γενικευμένη μετρική. Στην παράγραφο 3 παρουσιάζουμε με κάποιο τρόπο τη γενικευμένη μονομορφία ως προβολικό όριο γενικευμένων μετρικών. Στις παραγράφους 4 και 5 γενικεύονται οι αποστάσεις των Colmez [1] και Ky Fan [1] και αντιμετωπίζεται το αντίστοιχο πρόβλημα της παραγράφου 2. Τέλος, στην παράγραφο 6 γενικεύουμε ένα θεώρημα του Η. Nakano [1] στα πλαίσια των αναλλοίωτων γενικευμένων μετρικών.