↑ Επιστροφή σε Βιογραφικό

Ερευνητικό έργο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7                                 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ

Εισαγωγή. Μονόμορφες δομές επί τοπολογικών ομάδων εμελέτησε πρώτος ο A. Weil [1]. Ένα από τα μεγαλύτερα κίνητρα για τη μελέτη των μονόμορφων δομών υπήρξε το γεγονός ότι, κάθε τοπολογική ομάδα είναι μονομορφοποιήσιμη. Αυτό όμως που ενδιαφέρει περισσότερο δεν είναι η συμβιβαστότητα μιας μονομορφίας με την τοπολογία της τοπολογικής ομάδας, αλλά το αναλλοίωτο της μονομορφίας ως προς τις δεξιές ή αριστερές μεταφορές (Πρβλ. Παράγραφο 3) της ομάδας. Διαπιστώνει κανείς ότι, η γνωστή δεξιά (αντ. αριστερή) μονόμορφη δομή μιας τοπολογικής ομάδας G είναι αναλλοίωτη ως προς την ομάδα των δεξιών η αριστερών μεταφορών της G (Πρβλ. Ορισμούς 3.1 και 3.2).

Κάτω από τις προηγούμενες σκέψεις είναι φυσικό να συμπεράνουμε ότι, σε μια ημι-τοπολογική ομάδα (Πρβλ. Ορισμό 1.1) G[τ] το σύνολο Q των περιφραγμάτων {RV} (αντ.{LV} ) της ομάδας G (Πρβλ. (1.4) και (1.5)) αποτελούν μία ασθενέστερη μονόμορφή δομή. Εξάλλου, η χωριστή συνέχεια της πράξης της ομάδας G, μας οδήγησε σε χαρακτηριστικές ιδιότητες της Q και έτσι φτάσαμε στην "ημι-μονόμορφη δομή" (Πρβλ. Κεφ.4, Ορισμό 1.1). Εντελώς ανάλογα, αναχωρώντας από μία γενικευμένη τοπολογική ομάδα (Πρβλ. Ορισμό 1.1), καταλήξαμε στον ορισμό της "γενικευμένης μονόμορφης δομής" (Πρβλ. Κεφ.4, Ορισμό 1.1).

Έτσι, βρήκε απάντηση η εικασία του καθηγητή κ. Αναστασίου Μάλλιου περί ύπαρξης μιας ασθενέστερης μονόμορφης δομής επί ημι-τοπολογικής ομάδας συμβιβαστής με την τοπολογία, που υπήρξε και το κίνητρο για την εργασία [2: Ε. Παπατριανταφύλλου] .

Στις παραγράφους 1 και, 2 δίνουμε τους βασικούς ορισμούς και εξετάζουμε κάτω από ποιές ικανές και αναγκαίες συνθήκες, μια ημι-μονομορφία (αντ. γενικευμένη μονομορφία) επί μιας ομάδας κάνει την ομάδα ημι-τοπολογική (αντ. γενικευμένη τοπολογική) (Πρβλ. Θεώρημα 1.2).

Το σπουδαιότερο συμπέρασμα της παραγράφου 3 είναι η διαπίστωση ότι κάθε τοπική ομαλή δομή (Πρβλ. Κεφ.11. Ορισμό 1.1) που είναι GR-αναλλοίωτη ή GL-αναλλοίωτη (Πρβλ. Ορισμό 3.2), είναι αναγκαστικά μονόμορφη δομή (Θεώρημα 3.1).

Τέλος, στην παράγραφο 4 δείχνουμε ότι κάθε γενικευμένη μονομορφία ορίζει επί του X, κατά φυσικό τρόπο, μία προδιάταξη επί του X. Επιπλέον, διαπιστώνεται ότι κάθε προδιάταξη R επί ενός τοπολογικού χώρου X[τ] ορίζεται μέσω γενικευμένης μονομορφίας συμβιβαστής με την τ. Το συμπέρασμα αυτό καθώς και μία εφαρμογή του στις γενικευμένες τοπολογικές ομάδες, αποτελούν επεκτάσεις αντίστοιχων συμπερασμάτων του L. Nachbin [1].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8                                                                                 ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ

Εισαγωγή. Ας θεωρήσουμε ένα γενικευμένο μονόμορφο χώρο X[Q] (Πρβλ. Κεφ. 4, Ορισμό 1.1) και μία σχέση ισοδυναμίας R επί του X. Η Q ορίζει επί του X μία τοπολογία τQ (Πρβλ. Κεφ. 4, Πρόταση 1.1). Είναι γνωστό ότι η τοπολογία πηλίκο τq είναι η ισχυρότερη τοπολογία επί του X/R για την οποία η κανονική απεικόνιση p:Χ → X/R είναι συνεχής. Επομένως, είναι φυσικό να ρωτήσουμε ποιά γενικευμένη μονομορφία επί του X/R πρέπει να ορισθεί ως "γενικευμένη μονομορφία πηλίκο" και ποια σχέση συνδέει την γενικευμένη μονομορφία πηλίκο με την τοπολογία πηλίκο. Μία απάντηση στο ερώτημα αυτό έδωσε πρώ­τος ο R.W. Bagley [2] για μονόμορφες δομές, συνδέοντας τη μονόμορφη δομή πηλίκο με τη γνωστή γενίκευση της μετρικής Hausdorff των υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου. Ο C.J. Himmelberg [2] όρισε ως μονομορφία πηλίκο, την ισχυρότερη μονομορφία επί του X/R ως προς την οποία η προβολή p είναι μονόμορφα συνεχής. Θεωρώντας τον τελευταίο ορισμό πολύ φυσικό, τον διατηρήσαμε και στην περίπτωση των γενικευμένων μονόμορφων δομών.

Εξάλλου, παρακινούμενοι από το γεγονός ότι, αν η p2(Q) (p2=p×p) είναι γενικευμένη μονόμορφη δομή, είναι η πιθανή υποψήφια γενικευμένη μονόμορφη δομή πηλίκο, εξετάζουμε κάτω από ποιες ικανές και αναγκαίες συνθήκες η p2(Q) είναι γενικευμένη μονομορφία.

Στην παράγραφο 1 επιλύεται το προηγούμενο πρόβλημα για την p2(Q) και διαπιστώνουμε ότι, αν η p2(Q) είναι γενικευμένη μονομορφία, τότε αυτή είναι η γενικευμένη μονομορφία πηλίκο και μάλιστα συμβιβαστή με την τοπολογία πηλίκο. Έτσι, στην παράγραφο αυτή επεκτείνονται αντίστοιχα συμπεράσματα του C.J. Himmelberg [2]. Επίσης, στην παράγραφο 1 αποδεικνύεται η ύπαρξη μιας γενικευμένης μονομορφίας πηλίκο (Πρβλ. Θεώρημα 1.1) και διαπιστώνεται ότι αυτή είναι η εικόνα, μέσω της προβολής p, της ισχυρότερης κορεσμένης γενικευμένης μονομορφίας που περιέχεται στην Q (Πρβλ. Θεώρημα 1.3).

Στην παράγραφο 2 εφαρμόζουμε σε χώρους τροχιών τα συμπεράσματα της παραγράφου 1 και γενικεύουμε έτσι μερικά συμπεράσματα του C.J. Himmelberg [2].

Τέλος, στην παράγραφο 3, θεωρώντας μία γενικευμένη τοπολογική ομάδα G (Πρβλ. Κεφ.7, Ορισμό 1.1) και μία υποομάδα της Η, αποδεικνύουμε την ύπαρξη γενικευμένης μονομορφίας πηλίκο επί του G/Η, που είναι αναλλοίωτη ως προς τη δράση της G και συμβιβαστή με την τοπολογία πηλίκο.