↑ Επιστροφή σε Βιογραφικό

Ερευνητικό έργο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9                                             ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΕΙΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΜΟΝΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ

Εισαγωγή. Στο κεφάλαιο αυτό μελετούμε διάφορες ιδιότητες συμπαγών χώρων, οι περισσότερες των οποίων, όπως είναι φυσικό, συνδέονται με τους πλήρεις χώρους. Η σύνδεση αυτή επιτυγχάνεται με την εισαγωγή της έννοιας της "προσυμπάγειας", (Πρβλ. Ορισμό 1.1) και το θεμελιώδες συμπέρασμα ύπαρξης προσυμπαγούς γενικευμένης μονόμορφης δομής, συμβιβαστής με την τοπολογία ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου (Πρβλ. Θεώρημα 1.3). Έτσι, διαπιστώνουμε ότι κάθε γενικευμένος μονόμορφος χώρος είναι συμπαγής αν, και μόνον αν, είναι προσυμπαγής και πλήρης (Πρβλ. Θεώρημα 1.2). Εξετάζουμε, επίσης, συστηματικά διάφορες συμβιβαστές γενικευμένες μονομορφίες με την τοπολογία ενός τοπολογικού χώρου, διαπιστώνοντας με τον τρόπο αυτό χαρακτηριστικές ιδιότητες του υποκειμένου τοπολογικού χώρου, μέσω των ιδιοτήτων των γενικευμένων μονομορφιών.

Τα κύρια συμπεράσματα της παραγράφου 1 είναι τα θεωρήματα 1.4, 1.5 και 1.6, που είναι αντίστοιχα εκείνων των V. Niemytzki-A.Tychonoff [1], M.G. Murdeshwar-S.A. Naimpally[1] A.S. Davis [2] και I.S.Gal [2] στα πλαίσια των ψευδο-μονομόρφων δομών.

Στην παράγραφο 2 διαπιστώνουμε την ύπαρξη μιας ελάχιστης και μιας μέγιστης γενικευμένης μονόμορφης δομής, συμβιβαστών με την τοπολογία ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου (Πρβλ. Θεωρήματα 2.2, 2.4). Οι γενικευμένες αυτές μονομορφίες, θα παίξουν σημαντικό ρόλο στην εύρεση ικανών και αναγκαίων συνθηκών για να είναι ένας τοπολογικός χώρος συμπαγής ή και ειδικότερα πεπερασμένος. Έτσι, τα σπουδαιότερα συμπεράσματα αυτής της παραγράφου είναι τα Θεωρήματα 2.7, 2.8 και οι Εφαρμογές 2.2, 2.3. Τα συμπεράσματα αυτά είναι αντίστοιχα εκείνων των C. Barnhill-P. Fletcher [1] και C.I. Votaw [1] στα πλαίσια των ψευδο-μονόμορφων χώρων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10                                                                   ΧΩΡΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Εισαγωγή. Στο κεφάλαιο αυτό θεωρούμε το σύνολο ΥΧ όλων των απεικονίσεων μεταξύ των τοπολογικών χώρων X και Υ, το οποίο εφοδιάζουμε με την τοπολογία της συμπαγούς σύγκλισης. Επιπλέον, θεωρώντας μία γενικευμένη μονομορφία Q, συμβιβαστή με την τοπολογία του χώρου Υ, ορίζουμε, μέσω της Q, μία γενικευμένη μονομορφία επί του ΥΧ. Έτσι, με τις προϋποθέσεις αυτές επιτυγχάνουμε την επέκταση πολλών συμπερασμάτων της κλασικής θεωρίας των μονόμορφων χώρων.

Συγκεκριμένα, στην παράγραφο 1 δίνουμε τους βασικούς ορισμούς και διαπιστώνουμε ότι υπάρχει επί του ΥΧ μία γενικευμένη μονομορφία, η οποία ορίζεται όπως ακριβώς η μονόμορφη δομή της απλής σύγκλισης (Πρβλ. Πρόταση 1.1).

Στην παράγραφο 2 επεκτείνουμε το γνωστό Θεώρημα Ascoli, θεωρώντας επί του Υ την κανονική γενικευμένη μονομορφία, συμβιβαστή με την κανονική τοπολογία του Υ (Πρβλ. Κεφ.4, Θεωρήματα 2.2, 4.5 και Ορισμό 4.3).

Στην παράγραφο 3 πραγματοποιούμε μία γενικευμένα μονόμορφα συνεχή επέκταση (Πρβλ. Κεφ.4, Ορισμό 3.1) και επεκτείνουμε έτσι το αντίστοιχο θεώρημα των μονόμορφων χώρων.

Τέλος, στην παράγραφο 4, με τεχνική και πάλι γενικευμένων μονόμορφων χώρων, επεκτείνουμε τα συμπεράσματα του M. Seyedin [1].