↑ Επιστροφή σε Βιογραφικό

Ερευνητικό έργο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11                                           ΤΟΠΙΚΕΣ ΜΟΝΟΜΟΡΦΕΣ ΔΟΜΕΣ

Εισαγωγή. Το κεφάλαιο αυτό περιέχει βασικά συμπεράσματα των "τοπικά μονόμορφων χώρων", τα οποία θα χρησιμοποιηθούν στα επόμενα. Ο ορισμός της έννοιας μιας τοπικής μονόμορφης δομής μπορεί να προκύψει από την απαίτηση η τριγωνική ιδιότητα των μονόμορφων δομών να ισχύει τοπικά (Πρβλ. Ορισμό 1.1). Κάθε τοπική μονόμορφη δομή συνδέεται με μία κανονική (regular) τοπολογία, όπως ακριβώς μία μονόμορφη δομή συνδέεται με μία απόλυτα κανονική (completely regular) τοπολογία. Με τους τοπικά μονόμορφους χώρους ασχολήθηκε συστηματικά ο J. Williams [2]. Όμως, ανεξάρτητα και έμμεσα, η τοπική μονόμορφη δομή εμφανίζεται στην εργασία του Ε. Παπατριανταφύλλου [2: Θεώρημα 6.1], για να χαρακτηρίσει ένα κανονικό τοπολογικό χώρο και να βοηθήσει ουσιαστικά στην επέκταση πολλών συμπερασμάτων της θεωρίας των μονόμορφων χώρων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12                                                                   ΧΩΡΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Εισαγωγή. Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ένας γενικότερος ορισμός της "μονόμορφα συνεχούς απεικόνισης" και εξετάζονται διάφορες ιδιότητες των απεικονίσεων μεταξύ δύο τοπικά μονόμορφων χώρων. Μελετούμε επίσης τη σύγκλιση δικτύων απεικονίσεων μέσα σε ένα τοπικά μονόμορφο χώρο. Έτσι, επεκτείνουμε διάφορα συμπεράσματα της κλασικής θεωρίας των μονόμορφων χώρων, μεταξύ των οποίων και το Θεώρημα Ascoli (Πρβλ. Θεώρημα 2.1).

Το ίδιο θεώρημα έχει επεκτείνει στα πλαίσια των μονόμορφων χώρων ο H. Nakano [3] και στα πλαίσια τοπικών μονόμορφων χώρων ο F. Jeschek [1].

Η επέκταση όμως που παρουσιάζουμε στην παρούσα εργασία είναι γενικότερη και των δύο προηγουμένων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13                               ΟΡΙΑ ΤΟΠΙΚΩΝ ΜΟΝΟΜΟΡΦΩΝ ΔΟΜΩΝ

Εισαγωγή. Η σύγκριση δύο τοπικών μονόμορφων δομών μπορεί να γίνει με δύο τουλάχιστον τρόπους. Ο πρώτος είναι να συγκρίνουμε τις τοπικές μονόμορφες δομές ως φίλτρα και να ορίσουμε ανώτερο και κατώτερο όριο κατά τρόπο ανάλογο με εκείνο της κλασικής θεωρίας των μονόμορφων δομών. Ο δεύτερος είναι να συγκρίνουμε τις τοπολογίες που ορίζουν οι τοπικές μονόμορφες δομές. Η σύγκριση αυτή είναι τοπολογική και είναι απαραίτητη, εφόσον πολλά τοπολογικά προβλήματα αντιμετωπίζονται μέσω των τοπικών μονόμορφων δομών, συμβιβαστών με την τοπολογία δεδομένου χώρου.

Στην παράγραφο 1 καθορίζουμε αυτές τις συγκρίσεις και αναφέρουμε μερικές χρήσιμες ιδιότητες.

Στην παράγραφο 2 ορίζουμε αρχική και τελική τοπική μονόμορφη δομή και εξετάζουμε διάφορες χαρακτηριστικές ιδιότητές τους.

Το μεγαλύτερο μέρος αυτού του κεφαλαίου είναι χρήσιμο για τα όσα θα ακολουθήσουν.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14                                                                               ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ

Εισαγωγή. Στο κεφάλαιο 8 ασχοληθήκαμε με χώρους πηλίκα στα πλαίσια των γενικευμένων μονόμορφων δομών. Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουμε και πάλι χώρους πηλίκα, αλλά, στα πλαίσια των τοπικών μονόμορφων δομών. Τα περισσότερα προβλήματα που αντιμετωπίζονται εδώ είναι αντίστοιχα εκείνων του κεφαλαίου 8.