↑ Επιστροφή σε Βιογραφικό

Εργασίες

ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΣΕ ΤΟΠΙΚΑ ΜΟΝΟΜΟΡΦΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ

 

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

 

Στην παρούσα εργασία ασχολούμαστε με την πλήρωση, τη συμπάγεια και την προσυμπάγεια στα πλαίσια των τοπικά μονόμορφων χώρων [21]. Αποδείξαμε ότι, κάθε κανονικός τοπολογικός χώρος δέχεται μια τοπική μονόμορφη δομή, η οποία είναι ολικά φραγμένη (και επομένως προσυμπαγής). (Βλέπε Ορισμό 2.1, καθώς και το Θεώρημα 2.5). Αυτό επεκτείνει το κλασικό συμπέρασμα ότι, κάθε μονόμορφη δομή U επί ενός συνόλου X περιέχει μια ολικά φραγμένη μονομορφία, η οποία είναι συμβιβαστή με την τοπολογία  της U. Έτσι, χρησιμοποιώντας τον ορισμό Sieber - Pervin για ένα φίλτρο Cauchy [19], επεκτείνουμε κάποια γνωστά συμπεράσματα μονόμορφων χώρων. Για παράδειγμα, το Θεώρημα Niemytzki - Tyconoff έχει επεκταθεί, καθώς επίσης και τα συμπεράσματα: R. Doss [4], των J. L. Sieber - W. J. Pervin [19], των E. Alfsen - J. Fenstand [1] και του I. Gál [9, 8].

Επιπλέον, υπενθυμίζοντας ότι μία συνεχής απεικόνιση επί ενός συμπαγούς χώρου είναι μονόμορφα συνεχής, αποδεικνύουμε ότι ένα εντελώς ανάλογο συμπέρασμα ισχύει σε τοπικά μονόμορφους χώρους. Επίσης, μεταξύ των άλλων συμπερασμάτων, παρουσιάζουμε μία διαφορετική απόδειξη και μία γενίκευση ενός συμπεράσματος του J. Williams [21: Theorem 3.7], σχετικά με την ύπαρξη μιας μοναδικής τοπικής μονόμορφης δομής, συμβιβαστής με την τοπολογία ενός συμπαγούς κανονικού χώρου.

 

ABSTRACT

 

In this paper, we are concerned with completeness, compactness and precompactness in the framework of locally uniform spaces [21]. We proved that every regular topological space admits a local uniformity, which is totally bounded (and hence precompact). (See Definition 2.1, as well as, Theorem 2.5 below). This extends the well-known result that if  is a uniform space, then U contains a compatible totally bounded uniformity on X. Thus, by using the Sieber - Pervin definition for a Cauchy filter [19], we extend some well - known results of (quasi-)uniform spaces. For instance, the Niemytzki - Tychonoff theorem is extended, as well as the results of R. Doss [4], J. L. Sieber - W. J. Pervin [19], E. Alfsen - J. Fenstand [1] and I. Gál [9, 8].

Furthermore, recalling that a continuous map on a compact space is uniformly continuous, we prove that a completely analogous result holds in locally uniform spaces. Moreover, among the other results, we present a different proof and a generalization of a result of J. Williams [21: Theorem 3.7] concerning the existence of a unique neighborhood local uniformity compatible with the topology of a compact regular space.